Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$

Bước 1

Tìm các trị riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$

Bước 1.2

Ma trận đơn vị cỡ $3$ là ma trận vuông $3 \times 3$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 1.3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Bước 1.3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{3}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.4

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.4.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.6

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.6.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.6.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.7

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.7.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.7.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.8

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.8.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.8.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Bước 1.4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.5

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.6

Cộng $5$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - λ \end{array}]$

Bước 1.5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Bước 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Bước 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Bước 1.5.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Bước 1.5.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Bước 1.5.4

Tính $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Khai triển $(3 - λ) (- 1 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.3

Nhân $- λ \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + 1 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.3.2

Nhân $λ$ với $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.2

Cộng $- 3 λ$ và $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.1.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.2

Trừ $5$ khỏi $- 3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8) + 0 + 0$

Bước 1.5.4.2.3

Sắp xếp lại $- 2 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$

Bước 1.5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1.1

Cộng $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ và $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0$

Bước 1.5.5.1.2

Cộng $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ và $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

Bước 1.5.5.2

Khai triển $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.1

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.2

Nhân $- 2 λ$ với $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.4

Nhân $λ$ với $λ^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.4.1

Di chuyển $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.4.2

Nhân $λ^{2}$ với $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.4.2.1

Nâng $λ$ lên lũy thừa $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.4.3

Cộng $2$ và $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.6

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.6.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.6.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.7

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

Bước 1.5.5.3.8

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

Bước 1.5.5.4

Cộng $λ^{2}$ và $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 8 λ$

Bước 1.5.5.5

Cộng $- 2 λ$ và $8 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - 8 - λ^{3}$

Bước 1.5.5.6

Di chuyển $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - λ^{3} - 8$

Bước 1.5.5.7

Di chuyển $6 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 6 λ - 8$

Bước 1.5.5.8

Sắp xếp lại $3 λ^{2}$ và $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8$

Bước 1.6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$- λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8 = 0$

Bước 1.7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- λ^{3} - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- λ^{3} - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.2.2

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$- (λ^{3}) - 1 \cdot 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (λ^{3}) - 1 (8)$ .

$- (λ^{3} + 8) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.3

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$- (λ^{3} + 2^{3}) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.4

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = λ$ và $b = 2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - λ \cdot 2 + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.5.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.6

Đưa $3 λ$ ra ngoài $3 λ^{2} + 6 λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.6.1

Đưa $3 λ$ ra ngoài $3 λ^{2}$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 6 λ = 0$

Bước 1.7.1.6.2

Đưa $3 λ$ ra ngoài $6 λ$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 3 λ (2) = 0$

Bước 1.7.1.6.3

Đưa $3 λ$ ra ngoài $3 λ (λ) + 3 λ (2)$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2) = 0$

Bước 1.7.1.7

Đưa $λ + 2$ ra ngoài $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.7.1

Đưa $λ + 2$ ra ngoài $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ (λ + 2) = 0$

Bước 1.7.1.7.2

Đưa $λ + 2$ ra ngoài $3 λ (λ + 2)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ) = 0$

Bước 1.7.1.7.3

Đưa $λ + 2$ ra ngoài $(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ) = 0$

Bước 1.7.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(λ + 2) (- 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Bước 1.7.1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.9.1

Viết lại $- 1 λ^{2}$ ở dạng $- λ^{2}$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Bước 1.7.1.9.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Bước 1.7.1.9.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 4 + 3 λ) = 0$

Bước 1.7.1.10

Cộng $2 λ$ và $3 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Bước 1.7.1.11

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.11.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.11.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ và có tổng là $b = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.11.1.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Bước 1.7.1.11.1.1.2

Viết lại $5$ ở dạng $1$ cộng $4$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Bước 1.7.1.11.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Bước 1.7.1.11.1.1.4

Nhân $λ$ với $1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Bước 1.7.1.11.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.11.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Bước 1.7.1.11.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(λ + 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Bước 1.7.1.11.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- λ + 1$ .

$(λ + 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Bước 1.7.1.11.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Bước 1.7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Bước 1.7.3

Đặt $λ + 2$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Đặt $λ + 2$ bằng với $0$ .

$λ + 2 = 0$

Bước 1.7.3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$λ = - 2$

Bước 1.7.4

Đặt $- λ + 1$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Đặt $- λ + 1$ bằng với $0$ .

$- λ + 1 = 0$

Bước 1.7.4.2

Giải $- λ + 1 = 0$ để tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- λ = - 1$

Bước 1.7.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- λ = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- λ = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.7.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.7.4.2.2.2.2

Chia $λ$ cho $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.7.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$λ = 1$

Bước 1.7.5

Đặt $λ - 4$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Đặt $λ - 4$ bằng với $0$ .

$λ - 4 = 0$

Bước 1.7.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$λ = 4$

Bước 1.7.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ đúng.

$λ = - 2, 1, 4$

Bước 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Bước 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $2$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.2

Nhân $2$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.4

Nhân $2$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.6

Nhân $2$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.7

Nhân $2$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.8

Nhân $2$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.9

Nhân $2$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Cộng $1$ và $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.5

Cộng $3$ và $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.7

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.8

Cộng $5$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 + 2 \end{array}]$

Bước 3.2.3.9

Cộng $- 1$ và $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}]$

Bước 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 (\frac{1}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.4.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y + \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Bước 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ - \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Bước 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Bước 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Bước 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Bước 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.2

Trừ $0$ khỏi $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.3

Trừ $0$ khỏi $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.4

Trừ $0$ khỏi $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.5

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.6

Trừ $0$ khỏi $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.7

Trừ $0$ khỏi $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.8

Trừ $0$ khỏi $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2.9

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{1}{2}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} (- \frac{9}{2}) & - \frac{2}{9} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.5.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.6.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Bước 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 4.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Bước 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Bước 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 4$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.2

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.3

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.4

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.6

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.7

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.8

Nhân $- 4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 5.2.1.2.9

Nhân $- 4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.5

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.7

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.8

Cộng $5$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 4 \end{array}]$

Bước 5.2.3.9

Trừ $4$ khỏi $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 5 \end{array}]$

Bước 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 5 - 5 \cdot - 1 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.2.4.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Bước 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Bước 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Bước 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Bước 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$